Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）调递减区间是，单调递增区间是，的极小值为，无极大值（2）

【解析】

（1）求出，求解不等式，得出单调区间，进而求出极值；

（2）设，有三个零点，至少有三个单调区间，求出，对分类讨论，求出至少有三个单调区间的范围， 再结合零点存在性定理，确定区间存在零点的不等量关系，即可求解.

（1），令，解得，

当时，；当，.

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以的极小值为，无极大值.

（2）设，

即，

.

①若，则当时，，单调递减；

当时，，

单调递增，至多有两个零点.

②若，则，，

（仅），单调递增，至多有一个零点.

③若，则，当或时，

，单调递增；当时，，单调递减，

要使有三个零点，必须有成立，

由，得，

这与矛盾，所以不可能有三个零点.

④若，则，当或时，，

单调递增：当时，，单调递减，

要使有三个零点，必须有成立，

由，得，

由及，

得，∴.

且当时，，，

，

.

综上，的取值范围为.