Question

【题目】已知函数（，且）.

（1）求函数的极值点；

（2）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的极小值点为，无极大值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点．（2）见解析

【解析】

（1）根据导函数分类讨论函数的单调区间即可得到极值点；

（2）结合（1）得出的单调性可得，构造函数求出最小值即可得证.

（1）函数的定义域为.

，

①当时，令，得；令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，函数的极小值点为.

②当时，令，得；令，得，

故在上单调递减，在上单调递增，函数的极小值点为.

所以当时，函数的极小值点为，无极大值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点．

（2）证明：当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，

令（），则（），

，

当时，；当时，，

所以（）在上单调递减，在上单调递增，

故，

所以当时，.