Question

12．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连结OM并延长交BF于H，连结OP，PH．则由中位线定理得出OP∥AC，PH∥CF，故而平面OPH∥平面AFC，于是有PM∥平面AFC；
（II）取CD的中点G，EF的中点N，连接OG，ON．则ON，OB，OG两两垂直，以O为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{AC}$和平面CEF的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解：（Ⅰ）连结OM并延长交BF于H，连结OP，PH．
∵M为△OBF的重心，∴H为BF的中点，又P为BC的中点，O为AB的中心，
∴PH∥CF，OP∥AC，
又∵CF?平面AFC，AC?平面AFC，OP∩PH=P，OP?平面OPH，PH?平面OPH，OP∩PH=P，
∴平面OPH∥平面AFC，又∵PM?平面OPH，
∴PM∥AFC．
（Ⅱ）取CD的中点G，EF的中点N，连接OG，ON．
∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，
∴ON，OB，OG两两垂直．
以O为原点，以ON，OB，OG为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：
则A（0，-1，0），C（0，1，1），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（0，2，1），$\overrightarrow{FE}$=（0，1，0），$\overrightarrow{FC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1）．
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y+z=0}\end{array}\right.$．令x=2则$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
∴直线AC与平面CEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．