Question

3．设数列{a_n}和{b_n}的项数均为m，则将数列{a_n}和{b_n}的距离定义为$\sum_{i=1}^{n}$|a_i-b_i|．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设A为满足递推关系a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$的所有数列{a_n}的集合，{b_n}和{c_n}为A中的两个元素，且项数均为m，若b₁=2，c₁=3，{b_n}和{c_n}的距离小于2016，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列{a_n|1≤n≤7，a_n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16．

Answer 1

分析 （1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）由数列的递推公式，即可求得a，a₃，a₄，a₅，求得A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列{b_n}和{c_n}规律，可知随着项数m越大，数列{b_n}和{c_n}的距离越大，由$\sum_{i=1}^{4}$=b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$，根据周期的定义，得$\sum_{i=1}^{3456}$|b_i-c_i|=$\sum_{i=1}^{4×864}$|b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$×864=2016，求得m的最大值；
（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出{c_n}，{d_n}，{f_n}，最总求得$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-c_i|≤2和$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-d_i|≤2中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中的元素个数小于或等于16．

解答 解：（1）由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7，
（2）设a₁=p，其中p≠0，且p≠±1，
由a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得a₂=$\frac{1+p}{1-p}$，a₃=-$\frac{1}{p}$，a₄=$\frac{p-1}{p+1}$，a₅=p，
∴a₁=a₅，
因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，
所数列{b_n}中，b_4k-3=2，b_4k-2=-3，b_4k-1=-$\frac{1}{2}$，b_4k=$\frac{1}{3}$，k∈N^*，
所以{c_n}中，b_4k-3=3，b_4k-2=-2，b_4k-1=-$\frac{1}{3}$，b_4k=$\frac{1}{2}$，k∈N^*，
$\sum_{i=1}^{k+1}$|b_i-c_i|≥$\sum_{i+1}^{k}$|b_i-c_i|，得项数m越大，数列{b_n}和{c_n}的距离越大，
由$\sum_{i=1}^{4}$=b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$，
得$\sum_{i=1}^{3456}$|b_i-c_i|=$\sum_{i=1}^{4×864}$|b_i-c_i|=$\frac{7}{3}$×864=2016，
所以m＜3456时，$\sum_{i=1}^{m}$|b_i-c_i|＜2016，
故m的最大值为3455，
（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，
因为数列{a_n}中，a_i=0或1，
所以仅由数列前三项组成的数组（a₁，a₂，a₃）有且仅有8个，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），
那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的a₁，a₂，a₃，
设这个数列分别为{c_n}：c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，c₆，c₇，{d_n}：d₁，d₂，d₃，d₄，d₅，d₆，d₇，{f_n}：f₁，f₂，f₃，f₄，f₅，f₆，f₇，
其中c₁=d₁=f₁，c₂=d₂=f₂，c₃=d₃=f₃，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，
所以，{b_n}和{c_n}中，c_i=d_i，（i=4，5，6，7）中至少有三个成立，
不妨设c₄≠d₄，c₅≠d₅，c₆≠d₆，
由题意，c₄和d₄中一个等于0，而另一个等于1，
又因为f₄=0或1，
所以f₄=c₄和f₄=d₄中必有一个成立，
同理，得f₅=c₅和f₅=d₅中必有一个成立，f₆=c₆和f₆=d₆中必有一个成立，
所以“f_i=c_i（i=3，4，5）中至少有两个成立”或”f_i=d_i（i=4，5，6）中至少有两个成立“中必有一个成立，
所以$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-c_i|≤2和$\sum_{i=1}^{7}$|f_i-d_i|≤2中必有一个成立．
与题意矛盾，
∴T中的元素个数小于或等于16．

点评 本题考查数列的新定义，求数列的周期，考查反证法的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题．