Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=90°．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）求异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出BC=2$\sqrt{3}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC$=2$\sqrt{3}$，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．
（2）连结BC₁，由AC∥A₁C₁，得∠BA₁C₁是异面直线A₁B与AC所成的角（或其补角），由此利用余弦定理能求出异面直线A₁B与AC所成角的余弦值．

解答 解：（1）在△ABC中，
∵AB=2，AC=4，∠ABC=90°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC$=2$\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积S=2S_△ABC+S_侧=4$\sqrt{3}$+（2+2$\sqrt{3}$+4）×4=24+12$\sqrt{3}$．
（2）连结BC₁，∵AC∥A₁C₁，
∴∠BA₁C₁是异面直线A₁B与AC所成的角（或其补角），
在△A₁BC₁中，${A}_{1}B=2\sqrt{5}$，BC₁=2$\sqrt{7}$，A₁C₁=4，
由余弦定理，得cos∠BA₁C₁=$\frac{（2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}}{2×2\sqrt{5}×4}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴异面直线A₁B与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，注意余弦定理的合理运用．