Question

16．如图△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$+m•$\overrightarrow{AC}$，向量$\overrightarrow{AM}$的终点M在△ACD的内部（不含边界），则实数m的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则得出M的轨迹，根据条件得出m的最大值和最小值即可．

解答 解在AB上取点D′，使得$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，过D′作D′E⊥AB，交BC于E，交AD于F，
∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AM}$的终点M落在直线DE上．
过F作FM⊥AC于M，过E作EN⊥AC于N，
∴若向量$\overrightarrow{AM}$的终点M在△ACD的内部（不含边界），则M必定在线段EF上（不含端点）．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4，∴AM=1，AN=3，
∴$\frac{1}{4}＜m＜\frac{3}{4}$．
故答案为：（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了平面向量线性运算的平行四边形法则，属于中档题．