Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，若a_n=a，a_n=b（n-m≥1，m，n∈N^*），则a_m+n=$\frac{nb-ma}{n-m}$．
（1）类比上述结论，对于等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），若b_m=c，b_n=d（n-m≥2，m，n∈N^*），猜想数列{b_m+n}的通项公式；
（2）证明（1）中的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知条件类比推导理能猜想数列{b_m+n}的通项公式．
（2）设等比数列{b_n}的公比为q，则：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{m}={b}_{1}•{q}^{m-1}=c}\\{{b}_{n}={b}_{1}•{q}^{n-1}=d}\end{array}\right.$，由此求出首项和公比，从而能证明数列{b_m+n}的通项公式．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，
若a_n=a，a_n=b（n-m≥1，m，n∈N^*），则a_m+n=$\frac{nb-ma}{n-m}$．
∴类比上述结论，对于等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），
若b_m=c，b_n=d（n-m≥2，m，n∈N^*），则猜想：b_m+n=$\root{（n-m）}{\frac{{d}^{n}}{{c}^{m}}}$．…（3分）
证明：（2）设等比数列{b_n}的公比为q，
则：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{m}={b}_{1}•{q}^{m-1}=c}\\{{b}_{n}={b}_{1}•{q}^{n-1}=d}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{q=\root{（m-n）}{\frac{c}{d}}}\\{{b}_{1}=\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}}{{d}^{m-1}}}}\end{array}\right.$，…（7分）
∴b_m+n=${b}_{1}•{q}^{m+n-1}$=$\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}}{{d}^{m-1}}}$•[$\root{（n-m）}{\frac{c}{d}}$]^m+n-1
=$\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}}{{d}^{m-1}}}$[$\root{（n-m）}{\frac{d}{c}}$]^m+n-1
=$\root{（n-m）}{\frac{{c}^{n-1}•{d}^{m+n-1}}{{d}^{m-1}•{c}^{m+n-1}}}$
=$\root{（n-m）}{\frac{{d}^{m}}{{c}^{n}}}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列通项公式的猜想与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．