Question

14．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$倍，则双曲线的离心率为2，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据右焦点到渐近线的距离等于焦距的$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$倍，得到c=2a，根据P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，得到2a=4，然后进行求解即可．

解答 解：∵右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$倍，
∴b=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$•2c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
平方得b²=$\frac{3}{4}$c²=c²-a²，
即a²=$\frac{1}{4}$c²，
则c=2a，则离心率e=$\frac{c}{a}=2$，
∵双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，
∴2a=4，则a=2，
从而$b=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$．
故答案为：2，$4\sqrt{3}$

点评 本题主要考查双曲线的离心率以及虚轴的计算，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．