Question

19．已知函数f（x）∈R，g（x）∈R，有以下命题：
①若f[f（x）]=f（x），则f（x）=x； 
②若f[f（x）]=x，则f（x）=x；
③若f[g（x）]=x，且g（x）=g（y），则x=y；
④若存在实数x，使得f[g（x）]=x有解，则存在实数x，使得g[f（x）]=x²+x+1．
其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号）（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ③

Answer 1

分析 根据条件分别利用特殊值法和排除法进行判断即可．

解答 解：①若f[f（x）]=f（x），当f（x）为常数时，也满足条件，故f（x）=x不一定成立，故①错误；
 ②若f（x）=-x，则f[f（x）]=f（-x）=-（-x）=x成立，满足条件．但f（x）=x不成立，故②错误；
③若f[g（x）]=x，且g（x）=g（y），则f[g（y）]=x且f[g（y）]=y，∴x=y，正确；
④令f（x）=x，g（x）=x，f（g（x））=x有解，但g（f（x））=x=x²十x十1无解，∴错误
故选：D．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及抽象函数的关系，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．