Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n，则数列{a_n}的通项公式为a_n=（n+1）³．

Answer 1

分析 由4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n，推导出a₁=8，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n+1}{n}）^{3}$，由此利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n，
∴S_n+1=$\frac{（n+2）^{2}{a}_{n}}{4（n+1）}$，①
当n=1时，${a}_{1}+1=\frac{（1+2）^{2}{a}_{1}}{4（1+1）}$，解得a₁=8．
当n≥2时，S_n-1+1=$\frac{（n+1）^{2}{a}_{n-1}}{4n}$，②
①-②，得a_n=$\frac{（n+2）^{2}{a}_{n}}{4（n+1）}-\frac{（n+1）^{2}{a}_{n-1}}{4n}$，
∴4n（n+1）a_n=n（n+2）²2a_n-（n+1）³a_n-1，
n[（n+2）²-4（n+1）]a_n=（n+1）³a_n-1，
n³a_n=（n+1）³a_n-1，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n+1}{n}）^{3}$（n≥2），
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$8×（\frac{3}{2}）^{3}×（\frac{4}{3}）^{3}×…×（\frac{n+1}{n}）^{3}$
=（n+1）³．
故答案为：（n+1）³．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、累乘法的合理运用．