Question

16．在平面直角坐标系xOy中，以x的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A，B，已知A的横坐标为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，B的纵坐标为$\frac{\sqrt{2}}{10}$，则2α+β=（　　）

• A． π
• B． $\frac{2}{3}$π
• C． $\frac{5}{6}$π
• D． $\frac{3}{4}$π

Answer 1

分析 利用任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系，求得tanα=2，tanβ=$\frac{1}{7}$，再利用两角和的正切公式
求得 tan（2α+β）的值，结合2α+β的范围，求得2α+β的值．

解答 解：由题意可得，A的纵坐标为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B的横坐标为$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
即A（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）、B（$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{10}$），∴tanα=2，tanβ=$\frac{1}{7}$，
可得α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$），∴2α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）．
∵tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=-$\frac{4}{3}$，∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2α•tanβ}$=-1，
∴2α+β=$\frac{3π}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角共公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．