Question

20．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足$（2c-b）cosA=asin（\frac{π}{2}-B）$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$；求b，c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后将sinC=sin（A+B）代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积S，将已知面积与sinA的值代入得到bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入得到b与c的方程，联立求出b与c的值即可．

解答 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，即2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
整理得：2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=4①，
利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即8=b²+c²②，
联立①②解得：b=c=2．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．