Question

【题目】已知，.

（1）若直线与圆：相切，求被圆：所截得弦长取最小值时直线的斜率；

（2）时，：表示圆，问是否存在一条直线，使得它和所有的圆都没有公共点？如果存在，求出直线，若不存在，说明理由；

（3）若满足不等式和等式的点集是一条线段，求取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，：；（3）.

【解析】

(1)画出图像分析可得, 直线与直线垂直时被圆：所截得弦长取最小值.

再根据垂直的直线斜率之积为-1求解即可.
(2)当时代入有

,即又,故猜测存在一条直线,使得它和所有的圆都没有公共点,再证明即可.

(3) 的解集为或两条直线, 为两圆之间的部分,数形结合列式求解即可.

(1)由,

即圆心,半径

即圆心,半径

因为当被圆：所截得弦长取最小值时,圆心到直线的距离最大.

又到的距离,当且仅当直线与直线垂直时取得为最大值,此时斜率,故直线斜率
(2) 存在,：和所有的圆都没有公共点.

证明：由题：,即

,

变形得

即,

故：

若与有交点,则

有解.上式减去倍的下式有：

有解.

即圆与直线有交点,圆半径

但圆心到距离 .

故圆与直线无交点.

即和所有的圆都没有公共点.

(3)由题得的解集为或两条直线,得且

即为两圆 与之间的部分.

又若不等式和等式的点集是一条线段,则需注意临界条件.

当与圆相切时,或,

当与圆相切时,或

又因为到所求的所有的距离都大于半径,故无需考虑圆对形成线段的影响.

故