【题目】某地要建造一个边长为2(单位:)的正方形市民休闲公园,将其中的区域开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点的坐标为,曲线是函数图像的一部分,过边上一点在区域内作一次函数()的图像,与线段交于点(点不与点重合),且线段与曲线有且只有一个公共点,四边形为绿化风景区.
(1)求证:;
(2)设点的横坐标为,
①用表示、两点的坐标;
②将四边形的面积表示成关于的函数,并求的最大值.
【答案】(1)见解析(2)①M(,0),N(,2)②S=4﹣(t),其中0<t<1,S的最大值是4.
【解析】
(1)根据函数y=ax2过点D,求出解析式y=2x2;
由消去y,利用△=0证明结论成立;
(2)①写出点P的坐标(t,2t2),代入直线MN的方程,用t表示出直线方程,
利用直线方程求出M、N的坐标;
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S(t),
利用基本不等式即可求出S的最大值.
(1)函数y=ax2过点D(1,2),
代入计算得a=2,
∴y=2x2;
由,消去y得2x2﹣kx﹣b=0,
由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,
得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0,
解得b;
(2)设点P的横坐标为t,则0<t<1,
∴点P(t,2t2);
①直线MN的方程为y=kx+b,
即y=kx过点P,
∴kt2t2,
解得k=4t;
y=4tx﹣2t2
令y=0,解得x,∴M(,0);
令y=2,解得x,∴N(,2);
②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为
S=S(t)=2×22×[()]=4﹣(t),其中0<t<1;
由t2,当且仅当t,即t时“=”成立,
所以S≤4;即S的最大值是4.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。(不要求写过程)
(3) 从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以表示值域为的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间。例如,当,时,,。则下列命题中正确的是:( )
A.设函数的定义域为,则“”的充要条件是“,,”
B.函数的充要条件是有最大值和最小值
C.若函数,的定义域相同,且,,则
D.若函数有最大值,则
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】假设某种人寿保险规定,投保人没活过65岁,保险公司要赔偿10万元;若投保人活过65岁,则保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为,随机抽取4个投保人,设其中活过65岁的人数为,保险公司支出给这4人的总金额为万元(参考数据:)
(1)指出X服从的分布并写出与的关系;
(2)求.(结果保留3位小数)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图已知椭圆,是长轴的一个端点,弦过椭圆的中心,且,.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)设为椭圆上异于且不重合的两点,且的平分线总是垂直于轴,是否存在实数,使得,若存在,请求出的最大值,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是( )
A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”
B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”
C. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”
D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆()的左、右焦点分别是,,点为的上顶点,点在上,,且.
(1)求的方程;
(2)已知过原点的直线与椭圆交于,两点,垂直于的直线过且与椭圆交于,两点,若,求.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某水域受到污染,水务部门决定往水中投放一种药剂来净化水质,已知每次投放质量为的药剂后,经过()天,该药剂在水中释放的浓度(毫克升)为,其中,当药剂在水中释放浓度不低于(毫克升)时称为有效净化,当药剂在水中释放的浓度不低于(毫克升)且不高于(毫克升)时称为最佳净化.
(1)如果投放的药剂质量为,那么该水域达到有效净化一共可持续几天?
(2)如果投放的药剂质量为,为了使该水域天(从投放药剂算起,包括第天)之内都达到最佳净化,确定应该投放的药剂质量的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:的离心率为,短轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知不经过点P(0,2)的直线l:交椭圆C于A,B两点,M在AB上满足且,问直线是否过定点,若过求定点坐标;若不过,请说明理由。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com