Question

【题目】已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在， 或．

【解析】

（1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程.

（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.

解：设，

由， ，

可得，即为，

由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，

由，可得，可得曲线的方程为；

假设存在过点的直线l符合题意．

当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，

不成立；

当直线的斜率存在时，设方程为，

由，可得，即，

可得，化为，

由可得，

由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，

，

则

化为，即为，解得，

所以存在直线符合题意，且方程为或．