Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=AA₁．
（1）设E，F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：AC⊥AB．

Answer 1

解：（1）连接AB则交A₁B于E，且为A₁B中点，又F为BC₁的中点
∴EF∥A₁C₁ A₁C₁ ∥AC
EF∥AC
∴EF∥平面ABC
（2）∵AB=AA₁
∴四边形ABAA₁是正方形，
∴AB₁⊥A₁B
∵AB₁⊥BC₁
所以AB₁⊥平面A₁BC₁
∴AB₁⊥A₁C₁
∴AB₁⊥AC
又BB₁⊥AC
∴AC⊥平面ABAA₁
∴AC⊥AB
分析：（1）连接AB则交A₁B于E，且为A₁B中点，又F为BC₁的中点EF∥A₁C₁ A₁C₁ ∥AC由公理4，可得EF∥AC从而由线面平行的判定定理得到结论．（2）由AB=AA₁得到四边形ABAA₁是正方形，从而有AB₁⊥A₁B，再由AB₁⊥BC₁可知AB₁⊥平面A₁BC₁由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABAA₁从而有AC⊥AB．
点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题