Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间.例如，当.现有如下命题：

①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且

④若函数有最大值，则.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）

Answer 1

①③④

【解析】

试题分析：（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，

故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；

（2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；

（3）对于命题③若函数，的定义域相同，且，，

则值域为，，并且存在一个正数，使得．∴．则．∴命题③是真命题．

（4）对于命题④∵函数（，）有最大值，

∴假设，当→时，→0，→，∴→，则→．与题意不符；

假设，当→时，→，→，∴→，则→．与题意不符．∴．

即函数=

当时，，∴,即；

当时，；

当时，，∴，即．

∴．即．故命题④是真命题．

故答案为①③④．

考点：1新概念;2命题.