Question

4．已知M，N，P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱，AB，A₁D₁，BB₁上的动点，试过M，N，P三点作正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面．

Answer 1

分析 延长MP交A₁B₁的延长线于E，连NE交B₁C₁于F，延长FP交CB的延长线于G，再延长GM交AD于H．则NFPMH就是所要求作的截面．这类题目的解决，关键是找出截面要穿过的棱及其截点．

解答 解：作法：
延长MP交A₁B₁的延长线于E，连NE交B₁C₁于F，
延长FP交CB的延长线于G，再延长GM交AD于H．
则NFPMH就是所要求作的截面．
证明：
∵E在MP的延长线上，∴N、E、P、M共面．
∵E在A₁B₁的延长线上，∴E在平面A₁B₁C₁D₁上，又N为A₁D₁的中点，∴NE必与B₁C₁相交．
∴点F为平面A₁B₁C₁D₁、平面B₁C₁CB、平面MNP的公共点．
∴点F是平面MNP在B₁C₁上的截点．
∵点F是平面MNP在B₁C₁上的截点，∴点F在平面MNP上．
而点G在FP的延长线上，∴G在平面MNP上．
∵G在CB的延长线上，∴G在平面ABCD上，又M是AB的中点，∴GM的延长线必与AD相交．
∴点H为平面ABCD、平面AA₁D₁D、平面MNP的公共点．
∴点H是平面MNP在AD上的截点．
∴NFPMH为所要求作的截面．

点评 本题考查满足条件的正方体的截面的作法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．