Question

16．在长方体中，共点的三条棱长分别为a，b，c（a＜b＜c），分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积为S_a，S_b，S_c，则它们的大小关系是S_a＜S_b＜S_c．

Answer 1

分析 由已知条件求出S_a=$a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，S_b=b$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，利用作差法能求出S_a＜S_b，由此能求出S_a，S_b，S_c的大小关系．

解答 解：在长方体中，共点的三条棱长分别为a，b，c（a＜b＜c），
∵S_a所对应的对角面矩形的两邻边分别长a和$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
∴S_a=$a\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，同理S_b=b$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$，S_a²-S_b²=a²（b²+c²）-b²（a²+c²）=a²c²-b²c²=c²（a²-b²）＜0，
∴${{S}_{a}}^{2}＜{{S}_{b}}^{2}$，
∴S_a＜S_b，同理：S_b＜S_c．

∴S_a＜S_b＜S_c．
故答案为：S_a＜S_b＜S_c．

点评 本题考查三个对角面的面积的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．