Question

12．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，点R的坐标为$（2\sqrt{2}，\sqrt{6}）$，又点F₂在线段RF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在直线$x=-2\sqrt{3}$上（点P不在x轴上），直线PA₁，PA₂与椭圆C分别交于不同的两点M，N，线段MN的中点为Q，若|MN|=λ|A₁Q|，求λ．

Answer 1

分析 （1）根据|F₁F₂|=|RF₂|列方程解出c，从而得出a，b求出椭圆方程；
（2）设PA₁的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），求出PA₂方程，与椭圆方程联立求出N点坐标，通过计算斜率可得A₁N⊥A₁M，从而得出|MN|=2|A₁Q|．

解答 （1）解：∵e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵F₂（c，0）在PF₁的中垂线上，
∴|F₁F₂|=|RF₂|，（2c）²=$\sqrt{6}$²+（2$\sqrt{2}$-c）²，解得c=2，∴a²=3，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1． 
（2）证明：由（Ⅰ）知A₁（-$\sqrt{3}$，0），A₂（$\sqrt{3}$，0），
设PA₁的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$）（k≠0），则P坐标（-2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$k），
∴k${\;}_{P{A}_{2}}$=$\frac{k}{3}$，∴PA₂方程为y=$\frac{k}{3}$（x-$\sqrt{3}$），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{3}（x-\sqrt{3}）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（3+k²）x²-2$\sqrt{3}$k²x+3k²-9=0，
解得N（$\frac{\sqrt{3}（{k}^{2}-3）}{{k}^{2}+3}$，-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+3}$），
∴k${\;}_{{A}_{1}N}$=-$\frac{1}{k}$，∴A₁M⊥A₁N，
∴三角形MNA₁为直角三角形，又Q为斜边中点，
∴|MN|=2|A₁Q|，即λ=2．

点评 本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．