Question

2．已知等比数列{a_n}的第2项、第5项分别为二项式（2x+1）⁵展开式的第5项、第2项的系数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，若存在实数λ，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出二项式（2x+1）⁵展开式的通项公式，可得a₂，a₅，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求；
（2）运用等比数列的求和公式，可得S_n，再由参数分离，化简可得λ＞1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，求出不等式右边的范围，即可得到所求实数λ的取值范围．

解答 解：（1）二项式（2x+1）⁵展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r，
由题意可得a₂=${C}_{5}^{4}$•2=10，a₅=${C}_{5}^{1}$•2⁴=80，
设等比数列的公比为q，则q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=8，解得q=2，
a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=5，
则an=5•2^n-1，n∈N*；
（2）由（1）可得前n项和为S_n=$\frac{5（1-{2}^{n}）}{1-2}$=5（2ⁿ-1），
若存在实数λ，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立，
即为$\frac{λ}{10•{2}^{n-1}}$＞$\frac{1}{5•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{5（{2}^{n}-1）}$恒成立．
化简可得λ＞2-$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$，即λ＞1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
由n∈N*，可得$\frac{1}{{2}^{n}-1}$∈（0，1]，
即有1-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$∈[0，1），
则当λ≥1时，使$\frac{λ}{{2{a_n}}}＞\frac{1}{a_n}-\frac{1}{S_n}$恒成立．

点评 本题考查二项式定理的运用：求指定项的系数，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查化简整理的运算能力，属于中档题．