Question

7．函数f（x）=cos²$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$sinx，x∈[0，π]，f'（x）为函数f（x）的导函数，则函数y=[f（x）+f'（x）]²的最小值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 求出f（x）以及f′（x），根据x的范围，求出y=[f（x）+f'（x）]²的最小值即可．

解答 解：f（x）=cos²$\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$sinx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx，
故f′（x）=-$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx，
故y=[f（x）+f'（x）]²=（cosx+$\frac{1}{2}$）²，
∵x∈[0，π]，∴cosx=-$\frac{1}{2}$时，y取到最小值0，
故选：A．

点评 本题考查了导数的应用以及求函数最值问题，考查转化思想，是一道基础题．