Question

16．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0），在该约束条件下的最小值为2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 不存在

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+b=1，再由基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1），
由图可知，当目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0），过A时，z有最小值为2a+2b=2，
则a+b=1，
又a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}=9$．
当且仅当b=2a，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时上式等号成立．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查利用基本不等式求最值，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．