Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F₁，F₂分别为其左右焦点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，M是椭圆上一点，∠F₁MF₂的最大值为$\frac{2}{3}$π．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，
（i）求证：$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}$为定值；
（ii）求△OPQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意即可求得a=2，b=1，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）（i）分类讨论，当OP和OQ的斜率存在时，设OP和OQ方程，代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，即可求得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{{{x_1}^2+{y_1}^2}}+\frac{1}{{{x_2}^2+{y_2}^2}}=\frac{5}{4}$，当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，则$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=\frac{5}{4}$；
（ii）分类讨论，由（i）可知由求得丨OP丨及丨OQ丨，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OPQ面积的最小值．
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S_△OPQ=1，即可求得△OPQ面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，2c=|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，
当M位于上下端点时，∠F₁MF₂的最大，则，∠F₁MO=$\frac{π}{3}$，
则a=2，b=1，
∴椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（3分）
（Ⅱ）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设l_OP：y=kx，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消y得${x_1}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}^2={k^2}{x_1}^2=\frac{{4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$
同理得${x_2}^2=\frac{{4{k^2}}}{{4+{k^2}}}$，${y_2}^2=\frac{1}{k^2}{x_2}^2=\frac{4}{{{k^2}+4}}$，故$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{{{x_1}^2+{y_1}^2}}+\frac{1}{{{x_2}^2+{y_2}^2}}=\frac{5}{4}$，
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=\frac{5}{4}$，
综上得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{5}{4}$，得证（未讨论斜率这扣1分）    …（8分）
ii） 当OP，OQ斜率都存在且不为0时：
由上面所求可知：$|{OP}|=x_1^2+y_1^2=\frac{{4+4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，$|{OQ}|=x_2^2+y_2^2=\frac{{4+4{k^2}}}{{4+{k^2}}}$，
${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}×|{OP}|×|{OQ}|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{4+4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}×\frac{{4+4{k^2}}}{{4+{k^2}}}}≥2\sqrt{\frac{{{{（1+{k^2}）}^2}}}{{{{（\frac{{1+4{k^2}+4+{k^2}}}{2}）}^2}}}}≥\frac{4}{5}$，…（10分）
当且仅当1+4k²=4+k²，则k²=1，k=±1时取等号             …（11分）
当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S_△OPQ=1
综上S_△OPQ的最小值为$\frac{4}{5}$（未讨论斜率这扣（1分） ）                     …（12分）
另解：由$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{5}{4}⇒\frac{5}{4}≥2•\frac{1}{{|{OP}|}}•\frac{1}{{|{OQ}|}}⇒|{OP}||{OQ}|≥\frac{8}{5}⇒{S_{△OPQ}}≥\frac{4}{5}$
当且仅当|OP|=|OQ|时取等号     综上S_△OPQ的最小值为$\frac{4}{5}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．