Question

【题目】设满足以下两个条件的有穷数列 ， ， ， 为 阶“期待数列”：
① ；
② .
（1）分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”.
（2）若某 2017 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.
（3）记 阶“期待数列”的前 项和为 ，试证： .

Answer 1

【答案】
（1）解：三阶： 1 2 ， 0 ， 1 2 四阶： 3 8 ， 1 8 ， 1 8 ， 3 8 ．
（2）解：设等差数列 ， ， ， ， 公差为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 且 时与①②矛盾，
时，由①②得： ，
∴ ，即 ，
由 得 ，即 ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
时，同理得 ，
即 ，
由 得 即 ，
∴ ，
∴ 时， ．
（3）解：当 时，显然 成立；
当 时，根据条件①得 ，
，
即 ，
，
∴ ，
∴ ．
【解析】(1)弄清新定义n 阶“期待数列”的含义,写出3 阶“期待数列”和4 阶“期待数列”即可;
(2)由2017 阶“期待数列”是等差数列,则要求数列有2017项,且这2017项的和为0,绝对值的和为1,设出数列的公差,对公差d=0,d>0,d<0,分别讨论求出通项;
(3)庑讨论k=n时,由定义得证,再讨论k<n时,由绝对值的性质即可证明不等式.