Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，则数列的通项公式a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$变形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以-$\frac{1}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$，
故答案为：$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．