Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+1=2S_n（n∈N^*），a₁=2，则数列{a_n}通项公式a_n=${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．

Answer 1

分析 当n≥2根据题设条件可知a_n=2S_n-1，两式相减整理得a_n+1=3a_n，判断出此时数列{a_n}为等比数列，a₂=2a₁=4，公比为3，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．

解答 解：当n≥2时，a_n=2S_n-1，
∴a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∴数列{a_n}为等比数列，a₂=2a₁=4，公比为3，
∴a_n=4•3^n-2，
当n=1时，a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式为：${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．
故答案为：${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．

点评 本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式．解题的最后一定要验证a₁．属于中档题．