Question

15．解关于x的不等式ax²+（a-1）x-1＜0．

Answer 1

分析 讨论a=0时和a≠0时，不等式对应的解集是什么，从而求得不等式的解集．

解答 解：（1）a=0时，原不等式可化为x+1＞0，即x＞-1，此时原不等式的解集为{x|x＞-1}；
（2）a≠0时，△=（a-1）²+4a=（1+a）²≥0，方程ax²+（a-1）x-1=0可化为（ax-1）（x+1）=0，
∴x=-1或x=$\frac{1}{a}$；
①当a＞0时，$\frac{1}{a}$＞-1，∴原不等式可化为（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）＜0，
∴其解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
②当-1＜a＜0时，$\frac{1}{a}$＜-1，且原不等式可化为（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）＞0，
∴其解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞-1}；
③当a=-1时，$\frac{1}{a}$=-1，且原不等式可化为（x+1）²＞0，
其解集为{x|x≠1}；
④当a＜-1时，$\frac{1}{a}$＞-1，且原不等式可化为（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）＞0，
∴其解集为{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}；
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}；
a＞0时，不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞-1}；
a=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}．

点评 对a正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，是中档题．