Question

（文）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AB=AC=1，∠ABC=

π

4

，D是CC₁的中点，点M在线段A₁B₁上．
（1）当M为A₁B₁中点时，求异面直线DM与AB所成角的大小．
（2）指出直线CC₁与平面MAB的位置关系（不用证明），并求三棱锥D-MAB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据AB∥A₁B₁，可得∠A₁MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角；
（2）CC₁∥平面MAB．确定D到平面AA₁B₁B的距离与C到平面AA₁B₁B的距离相等，为CA=1，求出△MAB的面积，即可求三棱锥D-MAB的体积．

解答： 解：（1）∵AB∥A₁B₁
∴∠A₁MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角．…3分
连接A₁D，则三角形A₁DM为直角三角形，且∠DA1M=900，A1D=

5

2

，A1M=

1

2

∴tan∠A1MD=

A1D

A1M

=

5

…5分
∴异面直线DM与AB所成的角为arctan

5

．…6分
（2）CC₁∥平面AA₁B₁B即CC₁∥平面MAB（不必证明）…7分
∵CA⊥AB，CA⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CA⊥平面AA₁B₁B
∴C到平面AA₁B₁B的距离为CA=1．
∵CC₁∥平面AA₁B₁B，
可知D到平面AA₁B₁B的距离与C到平面AA₁B₁B的距离相等，为CA=1．…9分
又AB∥A₁B₁，∴△MAB的面积S△ABM=

1

2

AB•AA1=

1

2

…11分
∴VD-MAB=

1

3

S△ABM•CA=

1

3

•

1

2

•AC=

1

6

．…12分．

点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．