Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其中一个焦点F（

3

，0）
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若B、C为椭圆E长轴的左、右两端点，且

GC

=3

BG

，点A在椭圆E上．求|GA|的取值范围．
（Ⅲ）若椭圆E与y轴的负半轴交于点P，l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，l₁与以椭圆E的长轴为直径的圆交于两点M、N，l₂交椭圆E于另一点D，求△MND面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

a2=b2+c2 c a = 3 2 c= 3

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）点B（-2，0），C（2，0），设G（x，0），A（x，y），|GA|=

(x+1)2+y2

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

，由此能求出|GA|的取值范围．
（Ⅲ）设直线l₁：y=kx-1，直线l₂：x+ky+k=0，直线l₁被圆x²+y²=4所截的弦长|MN|=

2 3+4k2

1+k2

，由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

，得（k²+1）x²+8kx=0，|DP|=

(1+ 1 k2 )• 64k2 (k2+4)2

=

8 k2+1

k2+4

，由此能求出△MND面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其中一个焦点F（

3

，0），
∴

a2=b2+c2 c a = 3 2 c= 3

，解得a²=4，b²=1，
∴椭圆E的方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵点B（-2，0），C（2，0），
设G（x，0），根据题意得（2-x，0）=3（x+2，0），
设点A（x，y），则

x2

4

+y2=1，
|GA|=

(x+1)2+y2

=

(x+1)2+1- x2 4

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

，
∵-2≤x≤2，
∴当x=-

4

3

时，|GA|有最小值

6

3

；当x=2时，|GA|有最大值3．
∴|GA|的取值范围是[

6

3

，3]．
（Ⅲ）∵直线l₁⊥l₂，且都过点P（0，-1），
①当直线l₁，l₂的斜率都存在时，
设直线l₁：y=kx-1，直线l₂：x+ky+k=0，
∴圆心（0，0）到直线l₁：kx-y-1=0的距离为d=

1

1+k2

，
∴直线l₁被圆x²+y²=4所截的弦长|MN|=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

，
由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

，得（k²+1）x²+8kx=0，
∴xD+xP=-

8k

k2+4

，
∴|DP|=

(1+ 1 k2 )• 64k2 (k2+4)2

=

8 k2+1

k2+4

，
S△MND=

1

2

|MN||DP|
=

1

2

×

2 3+4k2

1+k2

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

=

32

4k2+3 4k2+3 + 13 4k2+3

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

16

13

13

．
当且仅法

4k2+3

=

13

4k2+3

，即k²=

5

2

时，等号成立，
∴△MND面积的最大值为

16

13

13

．
②当l₁，l₂有一条斜率不存在时，△MND的面积为2

3

，
综上所述，△MND面积的最大值为

16

13

13

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段取值范围的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．