Question

已知a＞0，函数f（x）=x-ax²-lnx．
（1）若f（x）是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x₁、x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，满足函数f（x）是单调函数，从而求出a的范围，
（2）表示出f（x₁）+f（x₂）=lna+

1

4a

+ln2+1，通过求导进行证明．

解答： 解：（1）∵f′（x）=-

2ax2-x+1

x

，（x＞0），
不妨设φ（x）=2ax²-x+1（x＞0），
则关于x的方程2ax²-x+1=0的判别式△=1-8a，
当a≥

1

8

时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当0＜a＜

1

8

时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，则当x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）时f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，f（x）不是单调函数，
综上，a的范围是[

1

8

，+∞），
（2）由（1）知当且仅当a∈（0，

1

8

）时f（x）有极小值x₁ 和极大值x₂，
且x₁，x₂是方程的两个正根，则x₁+x₂=

1

2a

，x₁ x₂=

1

2a

，
∴f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）-a[(x1+x2)2-2x₁ x₂]-（lnx₁+lnx₂）
=ln(2a)+

1

4a

+1=lna+

1

4a

+ln2+1(0＜a＜

1

8

)，
令g（a）=lna+

1

4a

+ln2+1，
当a∈（0，

1

8

）时，g′（a）=

4a-1

4a2

＜0，
∴g（a）在（0，

1

8

）内单调递减，
故g（a）＞g（

1

8

）=3-2ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．