Question

已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，求得f（x）的解析式，在利用正弦函数的周期性求得ω的值，可确定函数的解析式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

a

•

b

=（cosωx-sinωx）•（-cosωx-sinωx）+sinωx•2

3

cosωx
=sin²ωx-cos²ωx+

3

sin2ωx=-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
再根据f（x）的周期为2π，可得

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

，故f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（Ⅱ）将f（x）=2sin（x-

π

6

）图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x-

π

6

）的图象，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴g（x）∈[-1，2]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．