Question

（1）已知a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤

1

3

．
（2）已知a＞0，求证：

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：（1）利用综合法，由a+b+c=1⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，利用重要不等式a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，易证a²+b²+c²≥ab+bc+ac，与前者联立可证得结论；
（2）利用分析法，要证

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只要证

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

即可．即证两端平方后的不等式成立，直到即证a²+

1

a2

≥2，而此不等式显然成立，从而肯定原不等式成立．

解答： 证明：（1）∵a+b+c=1，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
又a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac，b²+c²≥2bc，
将以上三个不等式相加得：2（a²+b²+c²）≥（2ab+2bc+2ac），
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
∴1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac=3（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ca≤

1

3

．
（2）要证

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只要证

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

即可．
∵a＞0，∴只要证(

a2+ 1 a2

+2)2≥(a+

1

a

+

2

)2，
即a²+

1

a2

+4

a2+ 1 a2

+4≥a²+2+

1

a2

+2

2

（a+

1

a

）+2，
从而只要证2

a2+ 1 a2

≥

2

（a+

1

a

），
只要证4（a²+

1

a2

）≥2（a²+2+

1

a2

），即证a²+

1

a2

≥2，而此不等式显然成立，
故原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法与分析法，考查推理论证能力，属于中档题．