Question

6．（1）已知e^x≥ax+1，对?x≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）已知e^-f（x）=1-e^-x，0＜x＜m，求证f（x）＜$\frac{m}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=e^x-ax-1（x≥0），求得导数，判断单调性，即可得到a的范围；
（2）运用分析法，可得f（x）＜$\frac{m}{2}$，即证-ln（1-e^-x）＜$\frac{m}{2}$，即证1-e^-x＞-$\frac{m}{2}$，即为e^-x＜1+$\frac{m}{2}$，由x的范围，运用指数函数的单调性，即可得证．

解答 （1）解：令f（x）=e^x-ax-1（x≥0），
f′（x）=e^x-a，
当x≥0时，e^x≥1，若a≤1，则
f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）递增，
即有f（x）≥f（0）=0，
即e^x≥ax+1，对?x≥0恒成立，
若a＞1，则f（x）不单调，不满足题意．
综上可得，a的取值范围是（-∞，1]．
（2）证明：e^-f（x）=1-e^-x，0＜x＜m，
即有f（x）=-ln（1-e^-x），
要证f（x）＜$\frac{m}{2}$，即证-ln（1-e^-x）＜$\frac{m}{2}$，
即证1-e^-x＞-$\frac{m}{2}$，即为e^-x＜1+$\frac{m}{2}$，
由0＜x＜m，可得e^-m＜e^-x＜1，
由m＞0，1+$\frac{m}{2}$＞1＞e^-x成立．
故不等式f（x）＜$\frac{m}{2}$．

点评 本题考查不等式的恒成立和证明问题的解法，考查参数分离和分析法证明不等式的方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．