Question

已知函数f（x）=x^m-

1

x

（m∈R）经过点（3，

8

3

）．
（1）求实数m及f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在[1，+∞）的单调性．

Answer 1

考点：指数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的图象经过点（3，

8

3

），求得m的值，可得函数f（x）的解析式，从而得到其定义域．
（2）当x≥1时，求得它的导数f′（x）＞0，可得f（x）在[1，+∞）上是增函数．

解答： 解：（1）由函数f（x）=x^m-

1

x

（m∈R）经过点（3，

8

3

），
可得3^m-

1

3

=

8

3

，求得 m=1，∴函数f（x）=x-

1

x

，其定义域为{x|x≠0}．
（2）当x≥1时，∵f′（x）=1+

1

x2

＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，奇函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．