Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中0＜a＜b．
（1）设函数y=f（x）在点A（s，f（s）），B（t，f（t））处取得极值，且s＜t．求证：
①0＜s＜a＜t＜b；
②线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；
（2）若a+b＜2

2

，问：过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线是否垂直，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）①依题意，s，t（s＜t）为方程f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab=0的两个实根，计算f′（0）=ab＞0，f′（a）=a（a-b）＜0，f′（b）=b（b-a）＜0，可得f′（x）=0在区间（0，a）和（a，b）内各有一个实根，即可得出结论；
②证明f（s）+f（t）=2f（

s+t

2

），即证线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；
（2）过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不垂直，即证两条切线斜率之积不等于-1．

解答： （1）证明：①依题意，s，t（s＜t）为方程f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab=0的两个实根，
而f′（0）=ab＞0，f′（a）=a（a-b）＜0，f′（b）=b（b-a）＜0，
故f′（x）=0在区间（0，a）和（a，b）内各有一个实根，
所以0＜s＜a＜t＜b；
②由①得，s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

，
因为f（s）+f（t）=-

4

27

（a+b）³+

2

3

ab（a+b），f（

s+t

2

）=-

2

27

（a+b）³+

1

3

ab（a+b），
所以f（s）+f（t）=2f（

s+t

2

），
即证线段AB的中点C在曲线y=f（x）上；
（2）解：过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不垂直，理由如下：
设过曲线y=f（x）上一点P（x₁，y₁）的切线方程为：y-y₁=[3x₁²-2（a+b）x₁+ab]（x-x₁），
因为切线过原点，所以y₁=[3x₁²-2（a+b）x₁+ab]x₁，
又y₁=x₁（x₁-a）（x₁-b），
所以[3x₁²-2（a+b）x₁+ab]x₁=x₁（x₁-a）（x₁-b），
解得x₁=0，或x₁=

a+b

2

，
当x₁=0时，切线的斜率为ab；当x₁=

a+b

2

时，切线的斜率为ab-

(a+b)2

4

；
因为0＜a＜b，且a+b＜2

2

，
所以两条切线斜率之积为：
ab[ab-

(a+b)2

4

]≥（ab）²-2ab=（ab-1）²-1≥-1，
所以过原点且与曲线y=f（x）相切的两条直线不垂直．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力，难度中等．