Question

已知函数f（x）=asinx•cosx-

3

acos²x+

3

2

a+b（a＞0）
（1）当a=2，b=0时，写出函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈[0，

π

2

]，若f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据正弦函数的性质求得函数的单调减区间．
（2）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据x的范围和正弦函数的单调性确定函数的最大和最小值的表达式，列方程求得a和b．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxcosx-2

3

cos²x+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

5

12

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函数的单调减区间为[kπ+

5

12

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）f（x）=a（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+b=asin（2x-

π

3

）+b，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴

a+b= 3 - 3 a 2 +b=-2

或

a+b=-2 - 3 2 a+b= 3

，
求得a=2，b=

3

-2，或a=-2，a=

3

+2．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．第2问中注意对a大于0和a小于0分情况求解．