Question

已知圆C经过点M（-2，0），N（2，0），且圆心C在直线y=x上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（2，1）的直线l₁与圆C相切，求直线l₁的方程；
（Ⅲ）若直线l₂：y=kx+3与圆C交于A，B两点，在圆C上是否存在一点Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

，若存在，求出此时直线l₂的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）当直线l₁斜率不存在，满足l₁与圆C有且只有一个公共点；当直线l₁斜率存在时，设l₁：y-1=k₁（x-2），由此求出直线l₁：3x+4y-10=0．
（Ⅲ）假设存在点Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．由题意知四边形OAQB为菱形，由此能求出存在点Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．

解答： （本题满分14分）
解：（Ⅰ）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．
依题意得

(-2-a)2+(0-b)2=r2 (2-a)2+(0-b)2=r2 b=a

，（2分）
解得：a=0，b=0，r=2，
∴圆C的方程为x²+y²=4．（4分）
（Ⅱ）①当直线l₁斜率不存在，即l₁：x=2时，
满足l₁与圆C有且只有一个公共点．（5分）
②当直线l₁斜率存在时，设l₁：y-1=k₁（x-2），
即k₁x-y-2k₁+1=0，（6分）
∵直线l₁与圆C相切，
∴圆心C（0，0）到直线l₁的距离d等于半径2，
∴

|-2k1+1|

k12+1

=2，
解得：k1=-

3

4

，（8分）
∴直线l₁：3x+4y-10=0
综上所述，直线l₁方程为：x=2或3x+4y-10=0．（9分）
（Ⅲ）假设存在点Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．
因为A，B在圆上，且

OQ

=

OA

+

OB

，
由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形，（11分）
所以OQ与AB互相垂直且平分，
所以原点O到直线l：y=kx+3的距离为d=

1

2

|OQ|=1．  （12分）
即 

|3|

1+k2

=1，
解得k²=8，k=±2

2

．
所以存在点Q，使得

OQ

=

OA

+

OB

．  （14分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离的合理运用．