Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

an+6

(n+1)Sn

}的前n项和为T_n，求证：1≤T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）应用等差数列的求和和通项公式，即可得到；
（Ⅱ）求出S_n，化简数列{

an+6

(n+1)Sn

}，应用裂项相消求和，得到2（1-

1

n+1

），再由单调性，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：依题意，有

S5=70 a72=a2a22

，即

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

解得a₁=6，d=4，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N*）．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得S_n=2n²+4n，
∴

an+6

(n+1)Sn

=

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)

=

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)

=

2

n(n+1)

，
∴Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)，
∵{

1

n+1

}是递减数列，且n∈N^*，
∴0＜

1

n+1

≤

1

2

．∴-

1

2

≤-

1

n+1

＜0，
∴1≤Tn=2(1-

1

n+1

)＜2．

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，同时考查数列求和方法：裂项相消法，以及数列的单调性及应用，是一道综合题．