Question

已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列，且

1

cosA

+

1

cosC

=-

2

cosB

，求cos

A-C

2

的值．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得B=

π

3

，设A=

π

3

+α，C=

π

3

-α，可得

A-C

2

=α，代入已知式子由三角函数公式化简解得cosα可得．

解答： 解：由题意可得A+B+C=π，2B=A+C，∴B=

π

3

故可设A=

π

3

+α，C=

π

3

-α，可得

A-C

2

=α，
由题意可得

1

cos( π 3 +α)

+

1

cos( π 3 -α)

=-

2

cos π 3

化简可得

2

cosα- 3 sinα

+

2

cosα+ 3 sinα

=-2

2

，
∴

2cosα

cos2α-3sin2α

=-

2

，即4

2

cos2α+2cosα-3

2

=0
解得cosα=

2

2

或cosα=-

3 2

4

（舍去）
即cos

A-C

2

=

2

2

点评：本题考查等差数列的性质，涉及三角函数的运算，属中档题．