Question

在△ABC中．角A，B，C所对的边长分加为a，b，c．若△ABC的周长为

2

+1，且sinA+sinC=

2

sinB．
（1）求边长b；
（2）若△ABC的面积为

1

6

sinB，求角B的度数．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的角的正弦换成边，根据周长求得b的值．
（2）利用三角形面积公式求得ac的值，继而利用配方法求得a²+c²的值，最后根据余弦定理公式求得cosB的值，进而求得B．

解答： 解：（1）∵sinA+sinC=

2

sinB，
∴a+c=

2

b，
∵a+b+c=

2

+1，
∴

2

+1-b=

2

b，b=1．
（2）S=

1

2

a•c•sinB=

1

6

sinB，
∴ac=

1

3

，
a²+c²=（a+c）²-2ac=2-

2

3

=

4

3

，
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4 3 -1

2 3

=

1

2

，
∴B=60°．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解三角形问题中常需要运用正弦定理和余弦定理完成边和角的问题的转化．