Question

7．已知点A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{π}{4}$，1），C（$\frac{π}{2}$，0），若这三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的 所有取值的集合为{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的值，从而得出结论．

解答 解：若三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上，
则有sin（ω•$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin（ω•$\frac{π}{4}$）=1，sinω•$\frac{π}{2}$=0，
则 $\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{3}，或ω•\frac{π}{6}=2kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z}\\{ω•\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z}\end{array}\right.}\\{ω•\frac{π}{2}=kπ，k∈Z}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{ω=12k+2，或ω=12k+4，k∈Z}\\{ω=8k+2，k∈Z}\end{array}\right.}\\{ω=2k，k∈Z}\end{array}\right.$，
求得正数ω的 所有取值的集合为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．
故答案为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．