Question

15．过点A（-4，0）向椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）引两条切线，切点分别为B、C，若△ABC为正三角形，则当ab最大时椭圆的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{3{y}^{2}}{16}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{8{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由题意设出切线方程，代入椭圆方程，△=0，a²+3b²=16，根据基本不等式的关系，a²+3b²≥2$\sqrt{3{a}^{2}{b}^{2}}$，可知a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$时，ab有最大值，代入即可求得椭圆方程．

解答 解：由△ABC为正三角形，根据三角形的性质k_AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设切线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4），
代入椭圆方程整理得：3b²x²+a²（x+4）²=3a²b²，
即（3b²+a²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0，
∵△=（8a²）²-4（3b²+a²）（16a²-3a²b²）=0，
∴a²+3b²=16，
a²+3b²≥2$\sqrt{3{a}^{2}{b}^{2}}$，
（当且仅当a²=3b²，即a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$时，等号成立），
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$时，ab有最大值，
故此时椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{3{y}^{2}}{8}=1$，
故答案为：A．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及基本不等式在求最值时的应用．同时考查了学生化简运算的能力，属于中档题．