Question

已知

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=k（0＜α＜

π

2

）．试用k表示sinα-cosα的值．

Answer 1

分析：利用倍角公式及切化弦可把原式化为2sinαcosα=k．分0＜α＜

π

4

，

π

4

≤α＜

π

2

两种情况通过求（sinα-cosα）²可得答案．

解答：解：

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα=k．
当0＜α＜

π

4

时，sinα＜cosα，
此时sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=-

(sinα-cosα)2

=-

1-2sinαcosα

=-

1-k

．
当

π

4

≤α＜

π

2

时，sinα≥cosα，
此时sinα-cosα≥0，
∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1-k

．

点评：本题考查二倍角的正弦、三角函数的化简求值、同角三角函数间的关系，属中档题．