Question

14．已知函数f（x）=|2x-1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）当-9≤x≤4时，不等式f（x）＜a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的f（x）的最大值，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵|2x-1|-|x-3|≥1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{2x-1-x+3≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜3}\\{2x-1+x-3≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x+x-3≥1}\end{array}\right.$，
解得：x≥$\frac{5}{3}$或x≤-3，
故不等式的解集是：$（-∞，-3]∪[\frac{5}{3}，+∞）$．
（Ⅱ）f（x）=|2x-1|-|x-3|，
x≥3时，f（x）=x+2，f（x）的最大值是f（4）=5，
$\frac{1}{2}$≤x≤3时，f（x）=3x-4，f（x）的最大值是f（3）=5，
-9≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=-x-2，f（x）的最大值是f（-9）=7，
当-9≤x≤4时，不等式f（x）＜a成立，
则a＞7，
即a∈（7，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．