Question

4．抛物线M：y²=ax的焦点F（1，0），过点K（-1，0）的直线l与M相交于A、B两点．
（Ⅰ）求k_AF+k_BF的值；
（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围，使点F落在以AB为直径的圆外．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线M：y²=4x，设直线l：y=k（x+1），（k≠0），联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用韦达定理、直线的斜率公式，结合已知条件能求出k_AF+k_BF的值．
（Ⅱ）由根的差别式求出k²＜1，再由向量的数量积得到$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=8-$\frac{4}{{k}^{2}}$＞0，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线M：y²=ax的焦点F（1，0），∴$\frac{a}{4}=1$，解得a=4，
∴抛物线M：y²=4x，
设直线l：y=k（x+1），（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}{x}_{2}=1，{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}=16{{x}_{1}{x}_{2}=16}^{\;}$，∴y₁y₂=4，
$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
k_AF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{\frac{4}{{y}_{2}}}{\frac{1}{{x}_{2}}-1}$=$\frac{\frac{-4{x}_{2}}{{y}_{2}}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{-{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=-k_BF，
∴k_AF+k_BF=0．
（Ⅱ）由（*）式得：
△=（2k²-4）²-4k⁴=16-16k²＞0，∴k²＜1，
又$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=1-（$\frac{4}{{k}^{2}}-2$）+1+4=8-$\frac{4}{{k}^{2}}$＞0，
∴${k}^{2}＞\frac{1}{2}$，
综上：-1＜k＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜1$．
∴直线l的斜率k的取值范围是（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查两直线斜率和的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，考查抛物线、直线的斜率、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．