Question

8．若x＞0，y＞0，$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤m\sqrt{x+y}$则实数m的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 原不等式即为m≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，令z=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，两边平方，再由基本不等式可得z的最大值，即可得到m的最小值．

解答 解：不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤m\sqrt{x+y}$，即为
m≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，
令z=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，则z²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$≤$\frac{x+y+（x+y）}{x+y}$=2，
即有z≤$\sqrt{2}$，（当且仅当x=y取得最大值），
即有m≥$\sqrt{2}$．即m的最小值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．