Question

19．焦点为（0，±3）且与双曲线$\frac{x^2}{2}$-y²=1有相同的渐近线的双曲线方程是$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 设所求的双曲线方程是$\frac{x^2}{2}$-y²=k，由焦点（0，±3）在y轴上，知k＜0，故双曲线方程是$\frac{{y}^{2}}{-k}$-$\frac{{x}^{2}}{-2k}$=1，据c²=9求出k值，即得所求的双曲线方程．

解答 解：由题意知，可设所求的双曲线方程是$\frac{x^2}{2}$-y²=k，
∵焦点（0，±3）在y轴上，∴k＜0，
所求的双曲线方程是$\frac{{y}^{2}}{-k}$-$\frac{{x}^{2}}{-2k}$=1，
由-2k-k=c²=9，∴k=-3，
故所求的双曲线方程是$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是$\frac{x^2}{2}$-y²=k，属于基础题．