Question

9．设函数f（x）=|1-2x|-3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$=Mab．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得a⁶+b⁶=$\sqrt{ab}$？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接采用零点分段法确定函数的最值；
（2）先假设存在，再两次运用基本不等式得出${a}^{\frac{5}{2}}•{b}^{\frac{5}{2}}$≤$\frac{1}{2}$和${a}^{\frac{5}{2}}•{b}^{\frac{5}{2}}$≥$\frac{2}{3}$相互矛盾，所以假设不成立．

解答 解：（1）分三类讨论如下：
①当x＜-1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）＜3；
②当-1≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=-5x-2，单调递减，f（x）_max=f（-1）=3，
③当x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）=-x-4，单调递减，f（x）＜f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{2}$，
综合以上讨论得，f（x）的最大值M=3；
（2）假设存在正数a，b，使得a⁶+b⁶=$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{a^6b^6}$=2a³b³，
所以，${a}^{\frac{5}{2}}•{b}^{\frac{5}{2}}$≤$\frac{1}{2}$，------------①
又因为$\frac{1}{a^3}$+$\frac{1}{b^3}$=Mab=3ab≥2•$\frac{1}{\sqrt{a^3b^3}}$，
所以，${a}^{\frac{5}{2}}•{b}^{\frac{5}{2}}$≥$\frac{2}{3}$，-----------②
显然①②相互矛盾，
所以，假设不成立，即不存在a，b使得a⁶+b⁶=$\sqrt{ab}$．

点评 本题主要考查了分段函数最值的确定，以及基本不等式在解题中的应用，运用了零点分段法和反证法，属于中档题．