Question

14．（Ⅰ）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0，）（0，2），求椭圆的方程；
（Ⅱ）与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的渐近线，且经过点A（2，-3）的双曲线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0．n＞0，m≠n，把两顶点（4，0，）（0，2）代入，能求出此椭圆方程．
（Ⅱ）设与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的渐近线的双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=λ$（λ≠0），把点A（2，-3）代入，能求出双曲线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0，）（0，2），
∴设椭圆方程为mx²+ny²=1，m＞0．n＞0，m≠n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16m=1}\\{4n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴此椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）设与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的渐近线的双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=λ$（λ≠0），
∵经过点A（2，-3），∴$\frac{4}{2}-9=λ$，解得λ=-7，
∴所求双曲线方程为：$\frac{y^2}{7}-\frac{x^2}{14}=1$．

点评 本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．